Bạn không nhất thiết phải tuân theo một luật lệ nào khi chơi
Sudoku, nhưng nếu bạn muốn là cao thủ, giải được các đề khó, Bờm
khuyên bạn nên thử nghiệm những kỹ thuật dưới đây. Hãy tìm ra
những kỹ thuật hợp với bạn nhất.
1. Ô đơn hiện
Kỹ thuật này còn được gọi là “ứng viên đơn độc”.
Thường xẩy ra trường hợp một ô chỉ điền được vào một số duy nhất
sau khi bạn xem xét các con số trong các ô khác thuộc cùng hàng,
cột và khối 3x3 với ô đó. Khi đó, hàng, cột và miền 3x3 tương
ứng đã chứa 8 con số khác nhau, chỉ còn lại 1 con số duy nhất
thích hợp cho ô trống đang xét.
Ví dụ, trong ô số bên dưới, ô được đánh dấu chỉ có thể điền số
6. Tất cả các con số khác đều bị loại trừ do đã có sẵn trong các
hàng, cột và miền 3x3.
2. Ô đơn ẩn
Nếu một ô là ô duy nhất trong hàng, cột và miền 3x3 có thể điền
vào một số cụ thể nào đó, thì ô đó phải chứa chính số đó.
Lý do là mọi hàng, mọi cột và mọi miền 3x3 đều phải chứa mỗi
số từ 1 đến 9. Ví dụ, trong ô số bên dưới, ô được đánh dấu ? là
ô duy nhất trong miền 3x3 có thể chứa số 2, nên nó phải được điền
vào số 2.
Sau chuỗi loại suy ban đầu, toàn bộ các kỹ thuật còn lại đều
hướng đến việc giảm số lượng các ứng viên cho các ô. Mục đích
của chúng là giảm các ứng viên đến một mức độ mà hai kỹ thuật
đầu tiên có thể áp dụng.
3. Những sự tương tác giữa khối
và cột / khối và hàng.
Thỉnh thoảng, khi kiểm tra lại một khối, bạn có thể xác định rằng
một số nào đó phải nằm trong một hàng hoặc một cột cụ thể nào
đó, dù bạn không thể xác định chính xác nó ở ô nào trong hàng
hoặc cột này. Thông tin đó đủ để bạn rút con số đó ra khỏi danh
sách ứng viên cho các ô khác trong cùng hàng hoặc cột, nhưng ở
ngoài miền 3x3.
Ví dụ, trong hình bên dưới, số 7 trong miền 3x3 đầu tiên chỉ
có thể nằm ở cột thứ hai. Điều này có nghĩa là ta có thể loại
bỏ số 7 ra khỏi danh sách ứng viên của các ô đã đánh dấu.
Trước hết, nếu một số xuất hiện như ứng viên cho chỉ hai ô trong
hai miền 3x3 khác nhau, nhưng cả hai ô này đều nằm trong cùng
hàng hoặc cột, thì bạn có thể bỏ số đó ra khỏi danh sách ứng viên
của các ô khác trong cùng hàng hoặc cột đó.
4.
Các tương tác giữa các khối.
Trước hết, nếu một số xuất hiện như ứng viên cho chỉ hai ô trong
hai miền 3x3 khác nhau, nhưng cả hai ô này đều nằm trong cùng
hàng hoặc cột, thì bạn có thể bỏ số đó ra khỏi danh sách ứng viên
của các ô khác trong cùng hàng hoặc cột đó.
Ví dụ, trong hình dưới đây, những ô đánh dấu * là những ô duy
nhất trong các miền 3x3 thứ hai và thứ năm có thể chứa số 3. Điều
này có nghĩa là số 3 ở cột thứ tư phải xuất hiện ở miền 3x3 thứ
hai và thứ năm. Tương tự như vậy đối với cột năm. Do không thể
có số 3 nào khác ở các cột bốn và năm, số 3 có thể loại khỏi danh
sách ứng viên của các ô thuộc các cột này trong miền 3x3 thứ tám.
Thứ hai, trong ví dụ bên dưới, các ô được đánh dấu * là các ô
trong khối thứ tư và khối thứ sáu có thể chứa số 2. Điều này có
nghĩa là số 2 có thể được loại bỏ khỏi danh sách ứng viên của
các hàng thứ tư và hàng thứ sáu trong khối thứ năm.
5. Tập hợp con “hiện”
Kỹ thuật này có tên gọi là “bộ đôi hiện” trong trường hợp có hai
ứng viên, “bộ ba hiện” trong trường hợp có ba ứng viên, hoặc “bộ
tứ hiện” trong trường hợp có bốn ứng viên. Đôi khi, kỹ thuật này
còn được gọi là “tập hợp con tách bạch”.
Nếu hai ô trong cùng một hàng, cột hoặc miền 3x3 chỉ có duy nhất
hai ứng viên, thì các ứng viên này có thể loại bỏ khỏi danh sách
các ứng viên trong các ô khác trong thuộc cùng hàng, cột hoặc
miền 3x3. Bởi vì nếu một ô chứa ứng viên này thì ô còn lại phải
chứa ứng viên kia. Thành thử cả hai ứng viên đó đều không thể
xuất hiện ở bất cứ ô nào khác.
Kỹ thuật này có thể áp dụng cho hai ô trở lên, nhưng trong mọi
trường hợp, số ô phải bằng với số các ứng viên. Ví dụ, xét một
hàng có các ứng viên sau:
{1, 7}, {6, 7, 9}, {1, 6, 7, 9}, {1, 7}, {1, 4, 7, 6}, {2, 3,
6, 7}, {3, 4, 6, 8, 9}, {2, 3, 4, 6, 8}, {5}
(Số {5} đơn độc cho thấy ô này chỉ có thể điền vào số 5). Bạn
có thể thấy rằng có hai ô có cùng chứa hai ứng viên 1 và 7. Một
trong hai ô này phải chứa số 1, ô còn lại chứa số 7, dù ta chưa
biết cụ thể ô nào chứa 1 và ô nào chứa 7. Như vậy 1 và 7 có thể
loại bỏ khỏi danh sách ứng viên trong các ô khác. Điều này làm
số lượng ứng viên giảm xuống còn:
{1, 7}, {6, 9}, {6, 9}, {1, 7}, {4, 6}, {2, 3, 6}, {3, 4, 6, 8,
9}, {2, 3, 4, 6, 8}, {5}
Bây giờ bạn có hai ô có chỉ chứa hai ứng viên duy nhất là 6 và
9. Hãy lặp lại quy trình trên để còn lại số ứng viên như sau:
{1, 7}, {6, 9}, {6, 9}, {1, 7}, {4}, {2, 3}, {3, 4, 8}, {2, 3,
4, 8}, {5}
Bây giờ ta bạn lại có một ứng viên đơn độc – có nghĩa là bạn
đã giảm thiểu số lượng ứng viên đến mức có thể xác định các giá
trị duy nhất có thể điền vào.
6. Tập hợp con “ẩn”
Kỹ thuật này được gọi là “bộ đôi ẩn” nếu lien quan đến hai ứng
viên, “bộ ba ẩn” nếu lien quan ba ứng viên, hoặc “bộ tứ ẩn” nếu
lien quan bốn ứng viên. Đôi lúc, kỹ thuật này cũng có thể gọi
là “tập hợp con độc nhất”.
Kỹ thuật này rất giống kỹ thuật tập hợp con hiện, nhưng thay
vì tác động đến các các ô khác trong cùng hàng, cột hoặc miền
3x3, các ứng viên bị loại khỏi các ô chứa tập hợp con. Nếu có
N ô, giữa các ô đó có N ứng viên không xuất hiện ở các ô khác
trong cùng hàng, cột hoặc miền 3x3, thì có thể loại bỏ bất kỳ
ứng viên nào khác cho các ô đó.
Ví dụ, xét một khối có các ứng viên sau:
{4, 5, 6, 9}, {4, 9}, {5, 6, 9}, {2, 4}, {1, 2, 3, 4, 7}, {1,
2, 3, 7}, {2, 5, 6}, {1, 2, 7}, {8}
(Số {8} đơn độc chỉ ra rằng ô này chỉ có thể chứa số 8). Bạn
có thể thấy rằng chỉ có ba ô có các ứng viên 1, 3 hoặc 7. (Các
ô này cũng chứa các ứng viên khác nhưng đó là những ứng viên có
thể loại bỏ). Ba ứng viên với chỉ ba ô có khả năng chứa chúng
có nghĩa là mỗi ứng viên phải nằm ở một trong ba ô này. Cho nên
hiển nhiên là ba ô này không thể chứa bất kỳ giá trị nào khác,
có nghĩa là chúng ta có thể loại bỏ bất kỳ các ứng viên khác khỏi
các ô này.
Trong ví dụ này, ta còn lại:
{4, 5, 6, 9}, {4, 9}, {5, 6, 9}, {2, 4}, {1, 3, 7}, {1, 3, 7},
{2, 5, 6}, {1, 7}, {8}
Các tập hợp con hiện và các tập hợp con ẩn liên đới với nhau
– Bạn có thể ví chúng như hai mặt của một đồng xu. Nếu một tập
hợp con hiện xuất hiện thì một tập hợp con ẩn cũng có mặt, mặc
dù để nhận ra nó có thể khó khăn và mất nhiều thời gian hơn. Ngược
lại cũng vậy, nếu một tập hợp con ẩn có mặt thì một tập hợp con
hiện cũng xuất hiện. Chúng tuân theo mối quan hệ như sau:
Số lượng các con số trong tập hợp con hiện + Số lượng các con
số trong tập hợp con ẩn + Số lượng các ô được điền trong đơn vị
(hàng/cột/khối) = 9
hoặc trình bày theo cách khác:
Số lượng các con số trong tập hợp con hiện + Số lượng các con
số trong tập hợp con ẩn = Số lượng các ô trống trong đơn vị (hàng/cột/khối)
7. Cánh bướm (Nâng cao)
Trong hình dưới đây, những ô duy nhất trong hàng đầu và hàng thứ
chín có thể chứa số 9 là những ô được đánh dấu. (Các ô khác trong
cùng hàng đã chứa số khác hoặc không thể chứa số 9 bởi vì đã có
các số 9 trong cùng cột). Do số 9 phải xuất hiện trong cả hàng
thứ nhất và hàng thứ chín, nhưng chúng nhất thiết không thể xuất
hiện trong cùng một cột, cho nên số 9 phải hiện diện ô đánh dấu
ở trên cùng bên trái và ô đánh dấu ở dưới cùng bên phải chứa số
9, hoặc ô đánh dấu ở dưới cùng bên trái và đánh dấu ô ở trên cùng
bên phải. (Không thể là ô dưới cùng bên phải và ô trên cùng bên
phải, hoặc ô dưới cùng bên trái và ô trên cùng bên trái, vì nếu
vậy sẽ có hai số 9 trong cùng một cột.
Tương tự, không thể là ô trên cùng bên trái và ô trên cùng bên
phải, hoặc ô dưới cùng bên trái và ô dưới cùng bên phải, vì nếu
vậy sẽ có hai số 9 trong cùng một hàng). Cho nên bạn không thể
nói số 9 nằm ở đâu, đỉnh-trái, đáy-phải, hay đáy trái-đỉnh phải,
nhưng dù sao bạn cũng có thể loại các số 9 ra khỏi các ô trong
cả hai cột. Kết quả là số 9 có thể được loại ra khỏi danh sách
ứng viên ở các ô khác trong cả hai cột liên quan.
8. Chuỗi bắt buộc (nâng cao)
Chuỗi bắt buộc là một kỹ thuật cho phép bạn đoán chắc con số phải
điền vào một ô từ việc xem xét các mối quan hệ liên quan từ sự
sắp đặt mỗi ứng viên trong các ô khác. (Kỹ thuật này còn được
gọi là “chuỗi liên quan kép”).
Ví dụ, trong ô Sudoku sau:
(Các con số trong ngoặc { } là các ứng viên của ô).
Xét hàng 2 cột 1 (h1c2). Ô này có hai ứng viên, 2 và 7. Bạn hãy
xem mối quan hệ của lần lượt hai ứng viên này.
Nếu h1c2 (hàng 1 cột 2) = 2 thì h2c1 = 1, và h5c1 = 2
nếu h1c2 = 7, thì h1c7 = 3, và h5c7 = 1, và h5c1 = 2
Như vậy, dù bạn điền khả năng nào vào h1c2 thì h5c1 vẫn phải chứa
số 2. Nói cách khác, dù bạn đi theo chuỗi suy luận nào thì vẫn
có một số ô chứa cùng giá trị.
Ghi chú: trừ phi đề Sudoku có nhiều đáp án, một trong những ứng
viên được xét phải sai. Điều này có nghĩa là ứng viên đó có thể
dẫn bạn đi đến một sự mâu thuẫn hoặc một kết quả chết. Nếu, khi
xét một ứng viên riêng lẻ, bạn đi đến một kết quả chết, hoặc tìm
ra hai chuỗi dẫn đến các kết luận khác nhau, thì bạn có thể loại
ứng viên đó khỏi ô ban đầu. Kỹ thuật này gần gần giống Thử và
Sai, và không nhất thiết xem là một phần của chiến lược chuỗi
bắt buộc. Tuy vậy, nó có thể hữu dụng khi giải Sudoku bằng thủ
công (không dùng máy tính).
9. Nishio
Đây là một dạng giới hạn của kỹ thuật Thử và Sai. Đối với mỗi
ứng viên cho một ô, nó đòi hỏi bạn đặt ra câu hỏi:
Nếu mình đặt số này vào ô này thì liệu điều đó có ngăn trở mình
hoàn tất (việc xác định) các vị trí khác của con số đó? Nếu câu
trả lời là có, thì ứng viên đó có thể bị loại.
10. Thử và Sai
Một số người sẽ cho rằng Thử và Sai không phải là một kỹ thuật
logic, chẳng khá gì hơn so với việc đoán mò. Dù vậy, Bờm vẫn thích
dùng kỹ thuật này, Bờm cho rằng nó cũng có tính logic. Khi có
vẻ như bạn không cách chi đi tiếp,Thử và Sai có lẽ là cách duy
nhất để giúp bạn dấn tới. Hơn nữa, một số đề Sudoku không thể
nào hoàn tất mà không dùng kỹ thuật này.
Kỹ thuật này đòi hỏi chọn lựa một ứng viên cho một ô – mà không
cần có lý do đặc biệt nào biện hộ cho chọn lựa đó - rồi xem thử
ô Sudoku có thể được hoàn tất hay không. Nếu có thể hoàn tất,
thì bạn đã thành công rồi đó (mặc dù, có thể còn có giải pháp
khác – thử luôn cả với những ứng viên khác). Nếu không hoàn tất
được, hãy tiếp tục kỹ thuật Thử và Sai, và sau khi mỗi lựa chọn
được loại bỏ, bạn lại đưa ra những lựa chọn khác. Với một số đề
Sudoku, có thể bạn phải sử dụng phương pháp Thử và Sai nhiều lần.
Với một số đề khác, bạn chỉ cần áp dụng một lần là đủ.
Thường thì, để qủan lý tính phức tạp, bạn nên chọn ô nào chỉ
có 2 lựa chọn. Nhưng điều này không nhất thiết đâu nhé!
Có điều này rất đáng để bạn ghi nhớ : chỉ độc nhất với kỹ thuật
này mà bạn luôn luôn tìm ra được đáp án. Không một kỹ thuật nào
khác có thể đảm bảo điều đó. Tuy nhiên, việc chỉ sử dụng duy nhất
kỹ thuật này sẽ giống như “lấy thịt đè người” vậy.
